Introduction
L'étude du mouvement des corps, qu'il s'agisse d'une simple chute libre ou d'un projectile lancé dans un fluide, conduit souvent à la résolution d'équations différentielles. Ces équations, qui décrivent l'évolution d'un système en fonction du temps, peuvent être résolues par différentes méthodes numériques, parmi lesquelles les méthodes de tir occupent une place importante. Cet article explore les principes fondamentaux de ces méthodes, en s'appuyant sur des exemples concrets tels que la chute libre avec et sans frottement, pour illustrer leur application et leur intérêt.
Le Principe d'Équivalence et la Chute Libre : Fondements Théoriques
Avant d'aborder les méthodes de résolution, il est crucial de rappeler un principe fondamental de la physique : le principe d'équivalence. Ce principe, pierre angulaire de la théorie de la Relativité Générale d'Einstein, stipule que la masse grave (qui mesure le couplage entre un corps et le champ de gravitation) est proportionnelle à la masse inerte (qui mesure l'effort nécessaire pour modifier l'état de mouvement d'un corps). Le rapport (k=m^{*}/m) est indépendant de la composition chimique.
Une des conséquences directes de ce principe est l'universalité de la chute libre dans le vide. Cela signifie qu'en l'absence de résistance de l'air, tous les corps, indépendamment de leur masse ou de leur composition, tombent à la même vitesse. Cette affirmation, vérifiée expérimentalement avec une précision croissante au fil des siècles, constitue le point de départ de notre analyse de la chute libre.
Vérifications Expérimentales du Principe d'Équivalence
L'étude de l'isochronisme des pendules, entreprise avant la fin du XIXe siècle, permit de vérifier le principe d'équivalence avec une précision de 10-5 près (Bessel 1830). Le baron Von Eötvös, en 1890, améliora considérablement cette précision grâce à une balance de torsion ingénieuse. Son dispositif mesurait les variations de pesanteur et vérifiait si le rapport (k=m^{*}/m) dépendait de la composition chimique. Eötvös vérifia ainsi le principe d’équivalence avec une précision de 5.10-8.
Des expériences de chute libre dans des tours à vide furent également réalisées. Ces expériences, bien que limitées par la résistance de l'air résiduel et le bruit sismique, atteignent une précision de l'ordre de 10-10-10-12. L'étude des astres du système solaire, en chute libre dans le champ de gravitation du Soleil, offre une autre voie pour tester le principe d'équivalence. Par exemple, grâce aux réflecteurs installés sur la Lune lors des missions Apollo, les scientifiques peuvent mesurer précisément la position de la Lune par télémétrie laser. Les compositions internes de la Terre et de la Lune étant différentes, ces deux astres devraient être accélérés différemment vers le Soleil en cas de violation du principe d'équivalence.
Chute Libre dans le Vide : Un Mouvement Uniformément Accéléré
Considérons un point matériel de masse (m) en chute libre dans un champ de pesanteur uniforme. En l'absence de frottement, le mouvement est régi par une équation simple :
(m\overrightarrow{a} = m\overrightarrow{g})
où (\overrightarrow{a}) est l'accélération du corps et (\overrightarrow{g}) est l'accélération de la pesanteur. L'intégration de cette équation donne :
(\overrightarrow{v}(t) = \overrightarrow{g}t + \overrightarrow{v_{0}})
où (\overrightarrow{v{0}}) désigne la vitesse initiale. Le mouvement uniformément accéléré est alors soit rectiligne soit plan. Si le corps est lancé avec une vitesse initiale colinéaire à (\overrightarrow{g}), la trajectoire est nécessairement rectiligne puisque l'accélération est à chaque instant colinéaire à la vitesse. Notons (z(t)) l'altitude du point matériel à l'instant (t) et (h) l'altitude initiale. Il est facile de montrer que le corps atteint le sol avec une vitesse (v\text{s}=\sqrt{v_{0}^{2}+2gh}). La vitesse de chute est indépendante de la masse et de la forme du corps.
Si initialement le corps est lancé avec un vecteur vitesse non colinéaire à (\overrightarrow{g}), la trajectoire n'est plus rectiligne. Plaçons le corps matériel à l'origine d'un système d'axes ((x\text{O}z)) et lançons le avec une vitesse (\overrightarrow{v{0}}) formant un angle (\theta) par rapport à l'axe ((\text{O}x)). Le mouvement suivant ((\text{O}x)) est uniforme. Le mouvement suivant ((\text{O}z)) est uniformément accéléré. La portée (x{\rm max}) du lancé désigne la distance à laquelle retombe le projectile.
Introduction des Frottements : Vers une Complexification du Modèle
La réalité est, bien sûr, plus complexe que ce simple modèle de chute libre dans le vide. En présence d'un fluide (air, eau, etc.), des forces de frottement s'exercent sur le corps en mouvement, modifiant sa trajectoire et sa vitesse. Ces forces de frottement dépendent de plusieurs facteurs, tels que la forme du corps, sa vitesse, et les propriétés du fluide.
Notion de Vitesse Limite
Lâchons un corps matériel de masse (m), de volume (V) et de masse volumique (\rho) dans un fluide de masse volumique (\rho\text{f}). On observe une phase accélérée suivie d'un mouvement uniforme à la vitesse (v{\infty}) dite vitesse limite. En effet, à suffisamment grande vitesse, la force de frottement (F_\text{t}) compense les effets de la pesanteur (poussée d'Archimède inclue) ce qui impose une accélération nulle et donc une vitesse constante. La vitesse limite dépend donc de la masse et du fluide.
Dans de nombreux cas, la force de frottement peut être modélisée comme étant proportionnelle à la vitesse (frottement visqueux) ou au carré de la vitesse (frottement turbulent). Dans le cas d'un frottement visqueux, la force s'écrit :
(\overrightarrow{F_\text{t}} = -\alpha \overrightarrow{v})
où (\alpha) désigne un coefficient de frottement qui dépend de la taille du corps et de la viscosité du fluide. La vitesse limite s'écrit (v{\infty}=mg'/\alpha). A partir de la vitesse limite et de la pesanteur apparente, on peut construire une grandeur homogène à un temps que nous appellerons (\tau=v{\infty}/g'). Le temps caractéristique (\tau) représente donc le temps de relaxation de la vitesse. Pour une durée de (5\tau) on fait une erreur inférieure à 1% en écrivant (v \simeq v_{\infty}).
Dans le cas d'un frottement turbulent, la force s'écrit :
(F\text{t}=\frac{1}{2}Cx \rho_\text{f} S v^{2})
où le coefficient (C_x) est un coefficient aérodynamique qui dépend de la forme du corps et de l'écoulement autour de celui-ci. (S) est la section droite. Elle varie donc comme (\sqrt{m}). La fonction (\tanh(x)) est monotone croissante sur (\mathbb{R}) et tend vers 1 quand (x\to \infty). La vitesse croît donc de façon monotone jusqu'à la vitesse limite et ce régime accéléré a une durée caractéristique de l'ordre de (\tau). Il est également possible d'exprimer la vitesse en fonction de la distance parcourue (s=h-z). La condition initiale (u(0)=0) permet de déterminer la constante d'intégration. La grandeur (\ell) homogène à une longueur, représente la distance caractéristique sur laquelle la particule est accélérée. Lorsque (s\ll \ell) on retrouve, par un développement limité, que (v \simeq \sqrt{2g's}).
Méthodes Numériques de Résolution : Les Méthodes de Tir
Lorsque l'équation différentielle décrivant le mouvement devient trop complexe pour être résolue analytiquement (ce qui est souvent le cas en présence de frottements), il est nécessaire de recourir à des méthodes numériques. Parmi ces méthodes, les méthodes de tir sont particulièrement adaptées à la résolution de problèmes de valeurs aux limites.
Principe Général des Méthodes de Tir
L'idée de base des méthodes de tir est de transformer un problème de valeurs aux limites en un problème de valeurs initiales. On "tire" des solutions à partir d'une condition initiale, en ajustant cette condition initiale jusqu'à ce que la solution satisfasse la condition aux limites à l'autre extrémité de l'intervalle.
Par exemple, considérons le problème de déterminer la trajectoire d'un projectile lancé avec une vitesse initiale donnée, de manière à atteindre une cible située à une distance donnée. On peut "tirer" différentes trajectoires en faisant varier l'angle de lancement, et ajuster cet angle jusqu'à ce que la trajectoire passe par la cible.
Application à la Chute avec Frottement
Traitons maintenant le problème du mouvement d'un corps lancé avec une vitesse initiale (\overrightarrow{v{0}}) dans un fluide visqueux. Considérons le cas le plus courant pour lequel la force de frottement est quadratique en vitesse (\overrightarrow{F\text{t}}=-\beta v \overrightarrow{v}). Il existe de nombreuses méthodes numériques pour résoudre ce type d’équations[5].
Les différences avec la chute libre tiennent essentiellement dans la diminution de la portée et de la flèche de la trajectoire ainsi que dans l’apparition d’une asymptote verticale. En effet, le mouvement suivant (Ox) n’étant que freiné, la vitesse (v_{x}) ne cesse de diminuer jusqu’à s’annuler.
Exemple Concret
Lâchons une bille d’acier ((\rho=7850\;\mathrm{kg.m^{-3}})) de diamètre 12,6 mm dans l’air ((\rho\text{f}=1{,}2\;\mathrm{kg.m^{-3}})). Les tables indiquent que le coefficient aérodynamique d’une sphère vaut environ (C{x}=0{,}44) à suffisamment grande vitesse. Lâchons maintenant cette bille dans l’eau ((\rho_\text{f}\simeq 1000\;\mathrm{kg.m^{-3}})).
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